Question

11．已知函数f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$在x=1处的切线与直线18x+y-3=0垂直．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：对任意的正整数n，有$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2×2+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$$＜ln\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a的方程，解得a=1，再由函数的导数，即可得到单调区间；
（2）当x＞0时，由（1）可得f（x）＞f（0），即为ln（1+x）＞$\frac{2x}{x+2}$，令x=$\frac{1}{n}$，即有ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln（n+1）-lnn＞$\frac{\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}$=$\frac{2}{2n+1}$，由累加法和对数的运算性质，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$的导数为：
f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{（x+2）^{2}}$，
在x=1处的切线的斜率为$\frac{a}{1+a}$-$\frac{4}{9}$，
由切线与18x+y-3=0垂直，可得$\frac{a}{1+a}$-$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{18}$，
解得a=1，f（x）=ln（1+x）-$\frac{2x}{x+2}$，
f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{4}{（x+2）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{（x+1）（x+2）^{2}}$≥0，
即有f（x）的增区间为（-1，+∞），无减区间；
（2）证明：当x＞0时，由（1）可得f（x）＞f（0），
即为ln（1+x）＞$\frac{2x}{x+2}$，
令x=$\frac{1}{n}$，即有ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln（n+1）-lnn＞$\frac{\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}$=$\frac{2}{2n+1}$，
则有ln2-ln1＞$\frac{2}{2+1}$，ln3-ln2＞$\frac{2}{2×2+1}$，
…，ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，
相加即有ln（n+1）-ln1＞$\frac{2}{2+1}$+$\frac{2}{2×2+1}$+…+$\frac{2}{2n+1}$，
则有$\frac{1}{2}$ln（n+1）＞$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2×2+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
则对任意的正整数n，有$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2×2+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$$＜ln\sqrt{n+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查单调性的运用，同时考查对数的运算性质和累加法的运用，属于中档题．