Question

用数学归纳法证明a^n＋1＋(a＋1)^2n－1能被a²＋a＋1整除(n∈N^*)．　

Answer 1

证明：① 当n＝1时，a²＋(a＋1)＝a²＋a＋1可被a²＋a＋1整除．

② 假设n＝k(k∈N^*)时，a^k＋1＋(a＋1)^2k－1能被a²＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1＝a·a^k＋1＋(a＋1)²(a＋1)^2k－1＝a·a^k＋1＋a·(a＋1)^2k－1＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1＝a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1，由假设可知a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]能被a²＋a＋1整除，(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1也能被a²＋a＋1整除，∴ a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1能被a²＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，

∴ 对任意n∈N^*原命题成立．