Question

【题目】已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列．数列前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求正整数的值；

（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）设数列的奇数项构成的等差数列的公差为，偶数项构成的等比数列的公比为，由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；，进而可求得数列的通项公式；

（2）分和，利用即可求出满足该等式的正整数的值；

（3）求出和，假设存在正整数，使得恰好为数列中的一项，设，变形得到，由此式得到的可能取值，然后依次分类讨论求解．

（1）设数列的奇数项构成的等差数列的公差为，偶数项构成的等比数列的公比为，

则，，，，，

，，即，

又，即，

所以，，解得，

对于，有，.

故；

（2）若，则由，得，得，得，；

若，由，得，

此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．

故满足条件的整数；

（3）对于，有．

．

假设存在正整数，使得恰好为数列中的一项，

又由（1）知，数列中的每一项都为整数，故可设，

则，变形得到①，

，，，．

又，故可能取、、.

当时，，，①不成立；

当时，则.

若，.

令，则.

，则，则.

因此，，

故只有，此时，．

当时，，，.

综上，存在正整数，使得恰好为数列中的第三项；

存在正整数，使得恰好为数列中的第二项．