Question

已知函数f（x）=x²+alnx，若对任意两个不等的正数x₁，x₂（x₁＞x₂），都有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞

  1

  2

• B、a≥

  1

  2

• C、a＞0
• D、a＞2

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先确定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥-2x²+2x恒成立，即a≥（-2x²+2x）_max，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂），
∴f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
即g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增，
即g′(x)=2x+

a

x

-2≥0恒成立，
也就是a≥-2x²+2x恒成立，∴a≥（-2x²+2x）_max，
∴a≥

1

2

，
故选：B．

点评：本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增是关键．