Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

3

+y2=1．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）．
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出点E的坐标和OE所在直线方程，求点D的坐标，利用基本不等式即可求得m²+k²的最小值；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知OD所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G的坐标，并代入若|OG|²=|OD|?|OE|，得到t=k，因此得证直线过定点；
     （ii）若点B，G关于x轴对称，写出点B的坐标，求出△ABG的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出△ABG的外接圆方程．

解答：解：（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0，由方程组

y=kx+t x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由题意△＞0，
所以3k²+1＞t²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

6kt

3k2+1

，所以y₁+y₂=

2t

3k2+1

，
∵线段AB的中点为E，∴x_E=-

3kt

3k2+1

，y_E=

t

3k2+1

，
此时k_OE=

yE

xE

=-

1

3k

．
所以OE所在直线方程为y=-

1

3k

x，
又由题设知D（-3，m）．
令x=-3，得m=

1

k

，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知OD所在直线方程为y=-

1

3k

x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

），
又E（-

3kt

3k2+1

，

t

3k2+1

），D（-3，

1

k

），
由距离公式和t＞0，得
|OG|²=（-

3k

3k2+1

）²+（

1

3k2+1

）²=

9k2+1

3k2+1

，
|OD|=

9+ 1 k2

=

9k2+1

k

，
|OE|=

(- 3kt 3k2+1 )2+( t 3k2+1 )2

=

t 9k2+ 1

3k2+1

．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直线l的方程为y=k（x+1），
所以直线l恒过定点（-1，0）；
（ii）由（i）得G（-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

），
若点B，G关于x轴对称，则B（-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

），
将点B坐标代入y=k（x+1），
整理得3k2-1=k

3k2+1

，
即6k⁴-7k²+1=0，解得k²=

1

6

或k²=1，
验证知k²=

1

6

时，3k2-1=k

3k2+1

不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此时B（-

3

2

，-

1

2

），G（-

3

2

，

1

2

）关于x轴对称，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以点A（0，1），
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d²+1=（d+

3

2

）²+

1

4

，解得d=-

1

2

，
故△ABG的外接圆的半径为r=

d2+1

=

5

2

，
所以△ABG的外接圆方程为(x+

1

2

)2+y2=

5

4

．

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的定义、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，