Question

18.设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和.已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项，

(Ⅱ)令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知得

解得a₂=2.

设数列{a_n)的公比为q，由a₂=2，可得a₁=，a₃=2q，

又S₃=7，可知+2+2q=7，

即2q²-5q+2=0.

解得q₁=2，q₂=.

由题意得q＞1，∴q=2.

∴a₂=1.

故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1.

(Ⅱ)由于b_n=lna_3n+1，n=1,2,…，

由(Ⅰ)得a_3n+1=2³ⁿ.

∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2,

又b_n+1-b_n=3ln2,

∴{b_n}是等差数列.

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n

=

=

=.

故T_n=.