Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

n(n+1)

+a2n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的前n项和和等差数列的性质，列出方程组，求出a₂，进而求出公比和a₁；
（2）首先写出数列{b_n}的通项公式，然后写出数列{b_n}的前n项和T_n，再利用裂项求和，和等比数列前n项和公式求和即可．

解答：解：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a3=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，
解得q1=2，q2=

1

2

．
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）bn=

1

n(n+1)

+a2n=

1

n(n+1)

+22n-1
T_n=（

1

1×2

+2）+（

1

2×3

+2³）+…+[

1

n×(n+1)

+2^2n-1]
=[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

_^]+（2+2³+…+2^2n-1）
=[（1-

1

2

）+（

1

2

- 

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]+

2(1-4n)

1-4

=（1-

1

n+1

）+

2(4n-1)

3

=

22n+1

3

+ 

1

3

- 

1

n+1

点评：本题考查了等比数列的通项公式和数列的求和，此题采取的分组求和和裂项的方法求数列的前n项和，是两种常用方法要熟练掌握，属于中档题．