Question

（2013•深圳一模）设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且3a₂是a₁+3和a₃+4和的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

(an+1)(an+1+1)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用条件建立方程组，求出首项与公比，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：由已知，得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

…（3分）
解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，则a₁q=2，
∴a1=

2

q

，a3=a1q2=2q．
由S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
∴2q²-5q+2=0，解得q1=2，q2=

1

2

．
由题意，得q＞1，∴q=2．       …（5分）
∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为an=2n-1．   …（7分）
（2）证明：∵bn=

an

(an+1)(an+1+1)

=

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，…（11分）
∴S_n=(

1

1+1

-

1

21+1

)+(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)=

1

1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

．…（14分）

点评：本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力，属于中档题．