Question

（2011•甘肃一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若点E为PB的中点，求二面角A-DE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，易得AC⊥BD，且PD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由PD=AD=1，我们可以求出四棱锥P-ABCD的各顶点的坐标，进而求出平面ADE，和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-DE-B的大小．

解答：解：（1）证明：底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC
∴AC⊥平面PBD
又由AC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵PD=AD=1
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）
又∵点E为PB的中点，∴E（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

AE

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）
又

PC

=（0，1，-1），
∴

AE

•

PC

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）•（0，1，-1）=0，
∴PC⊥AE，又PC⊥AD
∴PC⊥平面ADE
故

PC

=（0，1，-1），即为平面ADE的一个法向量
又由（1）可知

AC

=（-1，1，0）为平面BDE的法向量
故cosθ=

PC • AC

| PC |•| AC |

=

1

2

故此时二面角的大小为60°（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中（1）的关键是掌握空间线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的互相转化，（2）中的关键是建立恰当的空间坐标系，并求出两个平面的法向量．