Question

（2011•甘肃一模）设{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）如果a1=2，b1=2，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1（n∈N^*．）

Answer 1

分析：由题意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）结合已知条件a_n＞0，b_n＞0及②得a_n+1=b_nb_n+1从而当n≥2时，a_n=b_n-1b_n结合①，2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）从而可得数列{b_n}是等差数列
（2）由a₁=2，b₁=2及①得a₂=6，再由②得b₂=3从而有a₂=6，b₂=3从而可得等差数列{b_n}的首项b₁=2公差 d=b₂-b₁=1 通项公式b_n=2+（n-1）=n+1又 a_n=b_n-1b_n=n（n+1可得数列{a_n}通项公式为a_n=n（n+1）
则

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和可求S_n，可证

解答：解：由题意可得，2b_n²=a_n+a_n+1①a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）∵a_n＞0，b_n＞0
∴由②得a_n+1=b_nb_n+1
从而当n≥2时，a_n=b_n-1b_n
代入①，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2）
∴数列{b_n}是等差数列
（2）∵a₁=2，b₁=2
∴由①得a₂=6，再由②得b₂=3
等差数列{b_n}的首项b₁=2公差 d=b₂-b₁=1∴b_n=2+（n-1）=n+1
当n≥2时，a_n=b_n-1b_n=n（n+1），当n=1时，a₁=2也成立
∴数列{a_n}通项公式为a_n=n（n+1）
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

数列{

1

an

}的前n项和Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴S_n＜1

点评：（1）等差数列的证明常用的方法（i）定义法：a_n-a_n-1=d；（ii）等差中项法：2a_n=a_n-1+a_n+1
（2）裂项求和是数列求和中的重要方法，要注意其适用的结构特点