Question

3．已知函数f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）满足f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$．
（1）判断并证明函数f（x）在（-∞，0]上的单调性；
（2）若不等式f（x）-2t≥0对于?x∈（-∞，+∞）恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）依题意，由f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$，即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2}{+2}^{-2a-b}=\frac{17}{4}}\\{{2}^{3}{+2}^{3a-b}=\frac{65}{8}}\end{array}\right.$可求得a、b的值，从而可知f（x）=2^x+2^-x，可判断函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，利用导数法即可证明之；
（2）若将等式f（x）-2t≥0对于?x∈（-∞，+∞）恒成立转化为t≤$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min，利用基本不等式可求得$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min=1，从而可求实数t的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）满足f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2}{+2}^{-2a-b}=\frac{17}{4}}\\{{2}^{3}{+2}^{3a-b}=\frac{65}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2^x+2^-x，
f（x）在（-∞，0]上单调递减．
证明：∵x≤0，∴0＜2^x≤1，2^-x≥1，
∴f′（x）=ln2（2^x-2^-x）≤0，
∴函数f（x）在（-∞，0]上的单调递减；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，
∴不等式f（x）-2t≥0对于?x∈（-∞，+∞）恒成立?t≤$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min，
∵f（-x）=2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}{•2}^{-x}}$=2（当且仅当x=0时取等号），
∴$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min=1，
∴t≤1，
即实数t的最大值为1．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查指数函数的单调性与函数的奇偶性，考查函数与方程思想及运算求解能力，属于中档题．