题目内容
8．已知函数f（x）=x2+m与函数g（x）=-ln$\frac{1}{x}-3x（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（ ）| A． | $[{\frac{5}{4}+ln2，2}）$ | B． | $[{2-ln2，\frac{5}{4}+ln2}）$ | C． | $（{\frac{5}{4}+ln2，2-ln2}]$ | D． | （2-ln2，2] |
分析 由已知得到方程m=-lnx+3x-x2在[$\frac{1}{2}$，2]上有两解，构造函数h（x）=-lnx+3x-x2，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．
解答 解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有两解，即m=-lnx+3x-x2在[$\frac{1}{2}$，2]上有解．
设h（x）=-lnx+3x-x2，则h′（x）=-$\frac{1}{x}$+3-2x=-$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=1．
∴当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴h（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
∴当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=2，
∵h（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$，h（2）=-ln2+2，且h（2）＜h（$\frac{1}{2}$），
$\frac{5}{4}$+ln2≤m＜2．
从而m的取值范围为[$\frac{5}{4}$+ln2，2）．
故选：A．
点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程x2+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x2在上有两解，属于中档题．
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经电脑模拟发现年宣传费x（单位：万元）与年销售量y（单位：吨）之间近似满足关系式：y=a•xb（a，b＞G），即lny=b•lnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．
| 年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
| 年宣传费x（万元） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 年销售量y（吨） | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
| $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi•lnyi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnyi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）2 |
| 75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．
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| A． | [-2，6] | B． | [-3，5] | C． | [2，6] | D． | [3，5] |