Question

求下列函数的单调区间，并指出其单调性.

（1）y=2x－lnx；

（2）y= +cosx；

（3）y=x³－x.

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

其导数f′（x）=2－.

令2－＞0，解得x＞.

令2－＜0，解得0＜x＜.

因此（，+∞）为该函数的单调增区间，（0，）为该函数的单调减区间.

（2）函数的定义域为R.

f′（x）=－sinx.

令－sinx＞0，解得2kπ－π＜x＜2kπ+（k∈Z）.

令－sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+π（k∈Z）.

因此f（x）在（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）上为减函数，在（2kπ－，2kπ+）（k∈Z）上为增函数.

（3）函数的定义域为R.

令y′=3x²－1＞0，得x＜－或x＞.

令y′=3x²－1＜0，得－＜x＜.

∴y=x³－x有三个单调区间，其中在（－∞，－）及（，+∞）上是增函数，在（－，）上为减函数.

点评：（1）研究函数单调性的程序是：先确定其定义域，再求导，最后通过f′（x）＞0与f′（x）＜0来求出其单调区间.

（2）（3）题中增区间有两个，但不能取并集.

（3）（2）题中符号（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）表示若干个单调区间，不表示并集，它相当于（，）、（，）、….