Question

如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。

                       

Answer 1

解：（I）因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁ ⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C,且AA₁垂直于这两个平面的交线AC,

所以AA₁⊥平面ABC.……… 3分

(II)由（I）知AA₁ ⊥AC，AA₁ ⊥AB.  由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.    如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A₁(0，0，4),B₁(0，3，4),C₁(4，0，4)，

设平面A₁BC₁的法向量为，则,即，

令，则，，所以.……… 6分

同理可得，平面BB₁C₁的法向量为,所以.  由题知二面角A₁－BC₁－B₁为锐角，所以二面角A₁－BC₁－B₁的余弦值为.……… 8分

(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，，.

所以. 

由，即.解得.……… 11分

因为，所以在线段BC₁上存在点D，

使得AD⊥A₁B.

此时，.……… 13分