Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，.是棱的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的正弦值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取SC的中点N，连接MN，DN，根据中位线定理可知，，即可证明为平行四边形，可得，从而由线面平行的判定定理可证明面；

（2）由题意可以点为原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由空间向量法求得二面角的余弦值，再根据同角三角函数关系式转化为二面角的正弦值即可；

（1）证明：取SC的中点N，连接MN，DN，因为M，N分别为SB，SC的中点，

所以，，

又，

所以，，

故四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量是，则，即，

令，则，，.

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

设二面角的平面角大小为，

则，即.

二面角的正弦值为.