Question

【题目】已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）对直线ＡＢ的斜率分类讨论，设直线AB的方程为，利用相切可得，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面积的最大值

解：（I）由题设：，

解得

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）.设

1.当ABx轴时，

2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为

由已知，得

把代入椭圆方程消去y，

整理得,

有

,

,

,

,

当且仅当，即时等号成立.

当时，

综上所述，从而△AOB面积的最大值为