Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设该椭圆与轴的交点为, (点位于点的上方),直线与椭圆相交于不同的两点 ,求证:直线与直线的交点在定直线上.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）由椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为及离心率为，即可求出， ， 的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）设, ,联立直线与椭圆的方程，消去，结合韦达定理，可得及的值，分别表示出直线与直线的方程，联立方程，即可得直线与直线的交点在定直线上.

试题解析：(1)由题意知,

又∵

∴，

∴椭圆的标准方程为

(2)设, ,则由联立方程组，

化简得,由

解得，由韦达定理,得，

直线的方程 ①

直线的方程 ②

联立①②，得 ，即

∴直线与直线的交点在定直线上