Question

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点， 的周长为16．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为原点，圆： （）与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据的周长为16，可得，再根据离心率，得出，从而可得椭圆的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得， 两点关于轴对称，设， ，则，从而得出直线的方程，即可得到点的横坐标，同理可得点的横坐标，从而列出的表达式，化简求值即可得到定值.

试题解析：（1）由题意得，则，

由，解得，

则，所以椭圆的方程为．

（2）证明：由条件可知， ， 两点关于轴对称，设， ，则，由题可知， ，

∴， ．

又直线的方程为，令得点的横坐标，

同理可得点的横坐标.

∴ ，即为定值．