Question

设函数f（x）=alnx，g(x)=

1

2

x2．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时h(x)=4lnx-

1

2

x2，
由h′(x)=

4

x

-x＞0得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤(a+3)x-

1

2

x2，
化简得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）…（10分）
（3）不等式f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

等价于alnx0-

a

x0

＞x0+

1

x0

，
整理得x0-alnx0+

1+a

x0

＜0，设m(x)=x-alnx+

1+a

x

，
则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x₀，使得m（x₀）＜0．
对m（x）求导数，得m′(x)=1-

a

x

-

1+a

x2

=

x2-ax-(1+a)

x2

=

(x-1-a)(x+1)

x2

，
因为x＞0，所以x+1＞0，令x-1-a=0，得x=1+a．…（12分）
①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜-2．
②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e-1时，m（x）在1+a处取得最小值，
令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得

a+1+1

a

＜ln(a+1)
考察式子

t+1

t-1

＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立
③当1+a＞e，即a＞e-1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞

e2+1

e-1

，
又因为e-1-

e2+1

e-1

=

-2e

e-1

＜0，所以a＞

e2+1

e-1

．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（

e2+1

e-1

，+∞）．…（16分）