Question

已知函数f(x)=(x≠0)，在由正数组成的数列{a_n}中，a₁=1，f(a_n)(n∈N^*)．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)在数列{b_n}中，对任意正整数n，b_n·=1都成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，比较S_n与的大小；

(Ⅲ)在点列A_n(2n,)(n∈N^*)中，是否存在三个不同点A_k、A_l、A_m，使A_k、A_l、A_m在一条直线上?若存在，写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得.

∴,即{}是以为首项，4为公差的等差数列.

有=1+(n-1)×4=4n-3

∴a_n＞0,  ∴ 

(Ⅱ)∵

∴=b_n(4n²-1)=1，

∴

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

∴ 

(Ⅲ)点列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共线的三个点.

根据(Ⅰ)，可得A_n(2n,) (n∈N*),

令x=2n,y=,则y=.(x≥2)

点(x,y)在曲线x²-y²=1(x≥2,y≥)上，

所以，A_n(2n,)在曲线x²-y²=1(x≥2,y≥)上，而直线方程与x²-y²=1联立组成的方程组最多有两组不同的解，所以直线与x²-y²=1最多有两个交点.

所以，点列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共线的三个点.