Question

4．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}$的解集是（　　）

• A． （ln2，+∞）
• B． （2ln2，+∞）
• C． （-∞，ln2）
• D． （-∞，2ln2）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞${e}^{\frac{x}{2}}$，
∴g（x）＞1，
∵f（ln4）=2，
∴g（ln4）=1，
∴x＞ln4=2ln2，
故选：B．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．