Question

       已知数列为方向向量的直线上，  

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）求证：（其中e为自然对数的底数）；

   （III）记

求证：

Answer 1

由题意，      1分

               2分

       为首项，为公比的等比数列。

                 3分

           4分

 （Ⅱ）证明：

       构造辅助函数

       ∵，单调递减，

    ∴_，即

       令                                则

               8分

   （III）证明：

      

      

       时，

      

       （当且仅当n=1时取等号）。      11分

       另一方面，当时，

        w. 

      

       _，

       （当且仅当时取等号）。

       （当且仅当时取等号）。

       综上所述，有