Question

（本小题满分12分）已知数列为方向向量的直线上，   （I）求数列的通项公式； 

 （II）求证：（其中e为自然对数的底数）；  

（III）记

求证：

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)见解析（Ⅲ）见解析

解析:

（I）解：由题意，      1分

             1

       为首项，为公比的等比数列。    1分

            1分

   （Ⅱ）证明：

      

       构造辅助函数

       单调递增，

       令

       则

          4分

   （III）证明：

      

      

      

       时，

      

       （当且仅当n=1时取等号）。3分

       另一方面，当时，

      

      

             

      

       （当且仅当时取等号）。

       （当且仅当时取等号）。

       综上所述，有      2分