Question

（14分）已知数列为方向向量的直线上，（I）求数列的通项公式；（II）求证：（其中e为自然对数的底数）；

（III）记

求证：

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）略   （III）略

解析:

由题意， 

     为首项，为公比的等比数列。   

  （Ⅱ）证明：

      

构造辅助函数

    单调递增， 令则

     

  （III）证明：

   

   

    时，

   

   

    （当且仅当n=1时取等号）。 

    另一方面，当时，

   

   

   

   

    （当且仅当时取等号）。

    （当且仅当时取等号）。综上所述，有