Question

已知集合A={f（x）|f²（x）﹣f²（y）=f（x+y）•f（x﹣y），x、y∈R}，有下列命题：

①若f（x）=，则f（x）∈A；

②若f（x）=kx，则f（x）∈A；

③若f（x）∈A，则y=f（x）可为奇函数；

④若f（x）∈A，则对任意不等实数x₁，x₂，总有成立．

其中所有正确命题的序号是　______　．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

②③.

【解析】①令x≥y≥0，f²（x）﹣f²（y）=0而f（x+y）f（x﹣y）=1，∴①错误的；

②当f（x）=kx时，f²（x）﹣f²（y）=k²x²﹣k²y²=k（x﹣y）•k（x+y）=f（x+y）•f（x﹣y）成立，∴②正确．

③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）﹣f²（y）=f（y）f（﹣y）即f（y）（f（y）+f（﹣y））=0，

则有f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），因此f（x）为奇函数，∴③正确；

④如函数f（x）满足条件：成立．则函数在定义域上是减函数，

由②知当y=kx时，满足条件，但当k＞0时，函数y=kx为增函数，∴④不满足条件，故∴④错误．

故答案为：②③