Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，{b_n}为等比数列，数列{a_n+b_n}的前三项依次为5，11，21．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意设数列{a_n}公差为d，数列{b_n}的公比为q．
∵a₁=1，a₁+b₁=5，
∴b₁=4…（1分）
又∵a₂+b₂=11，a₃+b₃=21，
∴1+d+4q=11，1+2d+4q²=21…（3分）
解得：d=2，q=2…（5分）
∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹…（8分）
（Ⅱ）S_n=（a₁+a₂+…a_n）+（b₁+b₂+…b_n）
=． …（13分）
分析：（I）设出等比数列的公比和等差数列的公差，根据所给的两个数列的和的前三项的值，列出关于d，q的方程，解方程得到公比和公差，写出两个数列的通项公式．
（II）根据上一问做出的数列的通项公式，把两个数列的首项和公比，公差代入求前n项和的公式，得到结果．
点评：本题考查等比与等差数列的通项和前n项和，本题解题的关键是根据所给的条件求出公比和公差，做出数列的首项，本题是一个中档题目．