题目内容
已知双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=
，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若
•
=-17，求△PBQ的面积S；
（Ⅲ）若
=λ
（λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得
=μ•
，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b1 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若
| OP |
| OQ |
（Ⅲ）若
| PF |
| FQ |
| AM |
| MQ |
分析：（Ⅰ）直接由题意列出关于a，b，c的方程组，求解后可得双曲线的方程；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程和P，Q的坐标，联立直线和双曲线方程后利用
•
=-17结合根与系数关系求出直线的斜率，利用弦长公式求得弦长，代入三角形的面积公式求解；
（Ⅲ）由点斜式写出PB的方程，取x=
得到M的坐标，结合
=λ
把点P和Q的坐标化为含有λ的表达式，利用响亮的坐标加减法得到
和
，通过一系列的整理变形得到两向量共线．
（Ⅱ）设出直线PQ的方程和P，Q的坐标，联立直线和双曲线方程后利用
| OP |
| OQ |
（Ⅲ）由点斜式写出PB的方程，取x=
| 1 |
| 2 |
| PF |
| FQ |
| AM |
| MQ |
解答：
解：（Ⅰ）由题意知
⇒
，
则双曲线方程为x2-
=1；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
有准线l：x=
设PQ方程为y=k（x-2），代入双曲线方程3x2-y2-3=0，
可得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0．
由于P、Q都在双曲线右支上，所以
⇒k2＞3
∴y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=
由于
=(x1，y1)，
=(x2，y2)
由
•
=x1x2+y1y2=-17⇒
-
=-17⇒k2=4
此时，x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36
∴y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2-4）=12k
∴SS△BPQ=
|BF|×|y1-y2|=
×1×
=
=6
（III）存在实数μ满足题设条件
∵PB的方程为y-0=
(x-1)
令x=
，得y=
，即M（
，
）
∵
=λ
，∴（2-x1，-y1）=λ（x2-2，y2）
即
⇒
又
⇒
③
把③代入②得，x12=λ2x22+1-λ2④
由①、④得：x1=
=
λ+
，x2=
+
又
=(
，
)
∴
=(x2-
，y2+
)
=(
+
-
，-
+
)
=(
•
，-
•
)
=(
•
，-
•
)
=
(
，
)
=
．
令μ=
，∴
=
=μ
故存在实数μ，满足题设条件．
解：（Ⅰ）由题意知
|
|
则双曲线方程为x2-
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
有准线l：x=
| 1 |
| 2 |
设PQ方程为y=k（x-2），代入双曲线方程3x2-y2-3=0，
可得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0．
由于P、Q都在双曲线右支上，所以
|
∴y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=
| -9k2 |
| k2-3 |
由于
| OP |
| OQ |
由
| OP |
| OQ |
| 4k2+3 |
| k2-3 |
| 9k2 |
| k2-3 |
此时，x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36
∴y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2-4）=12k
∴SS△BPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| (y1+y2)2-4y1y2 |
=
| 1 |
| 2 |
| (12k)2-4×(-36) |
| 5 |
（III）存在实数μ满足题设条件
∵PB的方程为y-0=
| y1 |
| x1-0 |
令x=
| 1 |
| 2 |
| -y1 |
| 2(x1-1) |
| 1 |
| 2 |
| -y1 |
| 2(x1-1) |
∵
| PF |
| FQ |
即
|
|
又
|
|
把③代入②得，x12=λ2x22+1-λ2④
由①、④得：x1=
| 3λ+5 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 4λ |
| 5 |
| 4 |
又
| AM |
| 3 |
| 2 |
| -y1 |
| 2(x1-1) |
∴
| MQ |
| 1 |
| 2 |
| y1 |
| 2(x1-1) |
=(
| 3 |
| 4λ |
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| y1 |
| λ |
| y1 |
| 2(x1-1) |
=(
| 3 |
| 2 |
| λ+1 |
| 2λ |
| y1 |
| 2(x1-1) |
| 2(x1-1)-λ |
| λ |
=(
| 3 |
| 2 |
| λ+1 |
| λ |
| y1 |
| 2(x1-1) |
2(
| ||||
| λ |
=
| λ+1 |
| 2λ |
| 3 |
| 2 |
| -y1 |
| 2(x1-1) |
=
| λ+1 |
| λ |
| AM |
令μ=
| 2λ |
| λ+1 |
| AM |
| 2λ |
| λ+1 |
| MQ |
| MQ |
故存在实数μ，满足题设条件．
点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了平行向量与共线向量，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量在解题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的计算能力，属于高考试卷中的压轴题．
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