Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若

AF

=4

FB

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  2 5

  5

• C．

  10

  5

• D．

  2 10

  5

Answer 1

分析：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，则另一渐近线OB的方程为y=-

b

a

x，设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），由

AF

=4

FB

可得方程，解之可得m=

5c

2

，n=

5c

8

，可得B（

5c

8

，-

5bc

8a

），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．

解答：解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，则另一渐近线OB的方程为y=-

b

a

x，
设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），∵

AF

=4

FB

，∴（c-m，-

bm

a

）=4（n-c，-

bn

a

），
∴c-m=4（n-c），-

bm

a

=-4

bn

a

，解之可得m=

5c

2

，n=

5c

8

，
∴B（

5c

8

，-

5bc

8a

），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，
即

- 5bc 8a -0

5c 8 -c

•

- 5bc 8a

5c 8

=-1，化简可得5b²=3a²，即5（c²-a²）=3a²，
解之可得5c²=8a²，即e=

c

a

=

2 10

5

故选D

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．