Question

1．已知f（x）=-x²-mx+n（m，n∈R）．
（1）当m=3，n=1时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若函数y=f（x）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，求m+2n的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+ax²（a∈R），x₁，x₂是方程h（x）=0的两个不等实根，若f（-2）=-4，且h（-1）•h（1）≤0，证明：当m=a-1，时，|x₁-x₂|取得最大值．

Answer 1

分析 （1）当m=3，n=1时，不等式f（x）＞3可化为-x²-3x-2＞0，即可求不等式f（x）＞3的解集；
（2）由两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，根据零点存在定理，我们易得：f（-1）＜0，f（2）＞0，f（3）＜0，由此我们易构造一个平面区域，利用线性规划知识即可求出答案．
（3）确定n=-2m，$\frac{m}{a-1}$≤1，利用韦达定理，即可证明．

解答 解：（1）当m=3，n=1时，不等式f（x）＞3可化为-x²-3x-2＞0，∴-2＜x＜-1，
∴不等式f（x）＞3的解集（-2，-1）；
（2）∵函数f（x）=-x²-mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，
∴f（-1）＜0，f（2）＞0，f（3）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+m+n＜0}\\{-4-2m+n＞0}\\{-9-3m+n＜0}\end{array}\right.$，
平面区域如图所示，三个交点坐标分别为（-1，2），（-2，3），（-5，-6），
∴m+2n在（-2，3）处取得最大值4，在（-5，-6）处取得最小值为-17，
∴m+2n的取值范围为（-17，4）．
（3）h（x）=（a-1）x²-mx+n，
∵f（-2）=-4，且h（-1）•h（1）≤0，
∴2m+n=0，（a-1+m+n）（a-1-m+n）≤0，
∴n=-2m，$\frac{m}{a-1}$≤1
h（x）=（a-1）x²-mx+n=0，x₁+x₂=$\frac{m}{a-1}$，x₁x₂=$\frac{n}{a-1}$=-$\frac{2m}{a-1}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{m}{a-1}+4）^{2}-16}$，∴$\frac{m}{a-1}$=1，即m=a-1时，|x₁-x₂|取得最大值．

点评 本题考查二次函数的性质，函数零点的求法及零点存在定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．