题目内容
设f （x） 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈
都有f （x1＋x2） = f （x1） ? f （x2）．
（Ⅰ）求
及
；
（Ⅱ）证明f （x） 是周期函数；
（Ⅰ）解：由f （x1＋x2） = f （x1） ? f （x2），x1 x2∈[0，
]知
f （
） ? f （）≥0，x∈[0，1]．
∵ 
f （
） = f （） ? f （） = [f （）]2，
，
∴ f （）
．
∵ f （）
，
f （），
∴ f （
）
．
（Ⅱ）证明：依题设y = f （x）关于直线x = 1对称，
故 f （x） = f （1＋1－x），
即f （x） = f （2－x），x∈R．
又由f （x）是偶函数知f （－x） = f （x） ，x∈R，
∴ f （－x） = f （2－x） ，x∈R，
将上式中－x以x代换，得f （x） = f （x＋2），x∈R．
这表明f （x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
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