一对父子参加一个亲子摸奖游戏.其规则如下:父亲在装有红色.白色球各两个的甲袋子里随机取两个球.儿子在装有红色.白色.黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球.父子俩取球相互独立.两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖.他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表:所取球的情况三个球均为红色三个球均不同色恰有两球为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表：

所取球的情况	三个球均为红色	三个球均不同色	恰有两球为红色	其他情况
所获得的积分	180	90	60	0

（1）求一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及数学期望
（2）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．

分析（1）求出X的取值，再求出取各个值的概，列出分布列，再由期望公式求期望；
（2）所取三个球恰有两个是红球，包含两类基本事件，即父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球，然后利用古典概型概率计算公式及互斥事件的加法公式求得一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率，再由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～B（3，$\frac{1}{3}$），然后结合互斥事件的概率公式求得答案．

解答解：（1）X可以取180，90，60，0，取各个值的概率分别为：
P（X=180）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{18}$，P（X=90）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$，
P（X=60）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=1-$\frac{1}{18}-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$．
所求分布列为：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

随机变量X的期望E（X）=180×$\frac{1}{18}$+90×$\frac{2}{9}$+60×$\frac{1}{3}$+0×$\frac{7}{18}$=50；
（2）设所取三个球恰有两个是红球为事件A，
则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{1}{9}$；
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$．
故P（A）=$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$．
由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～B（3，$\frac{1}{3}$），
则P（Y≥2）=P（Y=2）+P（Y=3）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{7}{27}$，
故至少有两次获得积分为60的概率为$\frac{7}{27}$．

点评本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了古典概型概率公式的应用，考查了二项分布，是中档题．