Question

16．已知平面上三点A，B，C，$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，其中角B是直角，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AC}$平行，利用向量共线定理即可得出．
（2）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$．当B是直角时，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，解出即可得出．

解答 解：（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AC}$平行，
∴4（2-k）-2×3=0，解得k=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），∴$\overrightarrow{CB}$=（k-2，-3），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=（k，1）．
当B是直角时，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴k²-2k-3=0，解得k=3或k=-1；
综上得k的值为-1，3．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．