Question

已知

a

=（cosx，2sinx）

b

=（2

3

cosx，cosx），且f（x）=

a

•

b

-

3

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若（c+2b）cosA=-acosC成立，求f（C）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，及二倍角公式和两角和的正弦公式，化简，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；
（Ⅱ）由正弦定理，结合两角和差公式，解得A，再由三角形内角和对立，求得C的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(cosx，2sinx)，

b

=(2

3

cosx，cosx)，
∴f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)
则T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)
∴单调递增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)；
（Ⅱ）由正弦定理得：（sinC+2sinB）cosA=-sinAcosC
∴sin（A+C）=-2sinBcosA，即有sinB=-2sinBcosA，
∴cosA=-

1

2

，
∵A为三角形的内角∴A=

2π

3

，
则B+C=

π

3

，即0＜C＜

π

3

，
∴f（C）=2sin（2C+

π

3

），
又

π

3

＜2C+

π

3

＜π，则0＜sin（2C+

π

3

）≤1，
故f（C）∈（0，2]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查两角和差的正弦公式及二倍角公式，考查正弦函数的单调区间和周期，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．