Question

若f（x）=（a+log₂x）log₂8x，其中x＞0，a为常数．
（1）当a=1时，求f（sin

π

6

）的值；
（2）当x∈[

1

4

，2]时函数最大值为0，此时a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先化简f（x）=（a+log₂x）log₂8x=（a+log₂x）（3+log₂x）；
（1）当a=1时，f（x）=（1+log₂x）（3+log₂x）；代入sin

π

6

即可；
（2）f（x）=（a+log₂x）（3+log₂x）=（log₂x）²+（a+3）log₂x+3a；再由x∈[

1

4

，2]知log₂x∈[-2，1]；讨论最值点即可．

解答： 解：f（x）=（a+log₂x）log₂8x
=（a+log₂x）（3+log₂x）；
（1）当a=1时，f（x）=（1+log₂x）（3+log₂x）；
故f（sin

π

6

）=f（

1

2

）=（1+log₂

1

2

）（3+log₂

1

2

）
=0；
（2）f（x）=（a+log₂x）（3+log₂x）
=（log₂x）²+（a+3）log₂x+3a；
∵x∈[

1

4

，2]，
∴log₂x∈[-2，1]；
故a+log₂x≤0恒成立；
故a≤-1；
若（a+1）（3+1）=0；
则a=-1时，f（x）=（log₂x）²+2log₂x-3的最大值为0，故成立；
若（a-2）（3-2）=0，则a=2；
f（x）=（log₂x）²+5log₂x-3的最大值为3，故不成立；
故a=-1．

点评：本题考查了对数函数及复合函数的最值的应用，属于中档题．