Question

设△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，平面向量=（cosA，cosC），
=（c，a），=（2b，0），且•（-）=o．
（1）求角A的大小；
（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sin²x的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由•（-）=o，结合平面向量=（cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），我们易求出A角的一个三角函数值，结合A是三角形的内角，我们易得到A的大小．
（2）根据三角函数的降次公式，我们易将函数f（x）=sinxcosx+sin²x的解析式进行化简，然后根据|x|≤A，及正弦函数的性质，得到函数的值域．
解答：解：（I）∵•（-）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0
∴（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0
∴-2sinBcosA+sinB=0
∵sinB≠0
∴cosA=
又由A是三角形的内角，
∴A=
（II）f（x）=sinxcosx+sin²x=sin2x+•
=+sin2x-cos2x=+sin（2x-）
∵|x|≤A，A=
∴-≤x≤
∴-π≤2x-≤
∴-1≤sin（2x-）≤
∴≤+sin（2x-）≤
∴函数f（x）的值域为[，]
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，三角函数给值求角，及正弦函数的定义域和值域，其中根据平面向量数量积的运算，根据•（-）=o，得到A的三角函数值是解答本题的关键．