Question

设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数

(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值；

(Ⅱ)讨论g(x)与的大小关系；

(Ⅲ)是否存在x₀＞0，使得|g(x)－g(x₀)|＜对任意成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)由题设易知，， 　　，令得， 　　当时，，故(0，1)是的单调减区间， 　　当时，，故是的单调增区间， 　　因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为． 　　(Ⅱ)， 　　设，则， 　　当时，，即， 　　当时，， 　　因此，在内单调递减， 　　当时，，即， 　　当时，，即． 　　(Ⅲ)满足条件的x0不存在． 　　证明如下： 　　证法一：假设存在，使对任意成立， 　　即对任意x＞0，有，(*) 　　但对上述x0，取时，有，这与(*)左边不等式矛盾， 　　因此，不存在，使对任意成立． 　　证法二：假设存在，使对任意的成立． 　　由(Ⅰ)知，g(x)的最小值为． 　　又，而时，的值域为， 　　∴时，的值域为， 　　从而可取一个，使， 　　即，故，与假设矛盾． 　　∴不存在，使对任意成立．