Question

【题目】已知函数。

（1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）实数的取值范围为．

【解析】

试题此题考查导数求解的综合问题（Ⅰ）应用导数的几何意义，首先求函数的导数，以及在切点处的导数，然后根据，求解参数；（Ⅱ）利用导数求函数的单调性的方法，第一步，根据上一问得到函数的导数，将导数化简，第二步，求解，和的不等式，就是对应函数的单调区间，注意函数的定义域；（Ⅲ）处理此类不等式恒成立的问题，有两种方程，第一种，反解参数，转化为求函数的最小值，同样是求函数的导数，求函数的单调区间，确定最小值；第二种，转化为求，所以方法就是求函数的导数，讨论函数的极值点的存在问题，确定单调性，求函数的最小值大于0.

试题解析：（Ⅰ）．

由题意得，即4分

（Ⅱ）时，，定义域为，

当或时，，

当时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为． 8分

（Ⅲ）解法一：由，得在时恒成立，

令，则-10

令，则

所以在为增函数，．

故，故在为增函数．，

所以，即实数的取值范围为． 12分

解法二：

令，则，

（Ⅰ）当，即时，恒成立，

因为，所以在上单调递增，

，即，所以；

（Ⅱ）当，即时，恒成立，

因为，所以在上单调递增，

，即，所以；

（Ⅲ）当，即或时，

方程有两个实数根

若，两个根，

当时，，所以在上单调递增，

则，即，所以；

若，的两个根，

因为，且在是连续不断的函数

所以总存在，使得，不满足题意．

综上，实数的取值范围为．