Question

【题目】如图，底面 是边长为1的正方形，平面，，与平面所成角为60°.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得且，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，利用已知条件求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式计算即可.

（1）证明：∵平面，平面，

∴所以，

又∵底面是正方形，

∴.

∵，

∴平面.

（2）解：∵两两垂直，

∴以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，

由已知可得，∴，

由，可知.

则，

∴,.

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则.

∵平面，则为平面的一个法向量，

∴，，

∵二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.