Question

【题目】已知，函数有两个不同的零点．

（I）证明：；

（Ⅱ）证明：．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（I）分离参数，构造函数，利用导数讨论的单调性以及最值，根据直线与有两个交点，即可求得参数的范围；

（Ⅱ）先证明，再证明成立即可.

证明：（I）由，则．

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减．

因为有两个不同的零点，故，即.

若，则当时，，此时在上无零点，

在上至多一个零点，与题设矛盾，故.

（Ⅱ）（1）一方面，先证明成立：

设，由（I）可知．

构造函数，

所以．

所以当时，，递增，

所以，即．

因为，所以，

即．

又因为，且在区间上单调递减，

所以，即．

（2）另一方面，要证明成立，

只需证明成立，

由知，

故只需证明，即成立

等价于，

因为，所以只需证明，

即成立.

设函数，则，

当时，单调递减，

于是，故成立

综上所述：．