Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ，，， 且，，

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的三等分点，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；

（2）法一，利用等积转换即，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.

(1)解法一：取的三等分点，连结，则

又因为，所以且，

因为且，所以且，

四边形是平行四边形，

所以，

又平面平面 ，平面 ，

所以平面 .

解法二：取的三等分点，连结，则，

又因为，

所以且，平面 ， 平面，

平面，

因为且，所以且，

四边形是平行四边形.

所以，平面，平面，

平面，

又因为，平面，

所以平面平面，

又因为平面，

所以平面.

(2)解法一：设点到平面的距离为.

因为，，所以，

所以，，因为，所以平面，

点平面的距离是，，

，

，

因为，所以，

点到平面的距离为.

解法二：设点到平面的距离为.

因为，，所以

所以，，因为，所以平面，

分别以为轴轴轴，建立空间坐标系，

’，

设平面法向量，

因为，所以，

设与平面所成角为， 则

点到平面的距离，

点到平面的距离为 .