Question

【题目】如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率, 为椭圆的左焦点,且.

（Ⅰ）求此椭圆的方程;

（Ⅱ）设是此椭圆上异于的任意一点, , 为垂足,延长到点使得.连接并延长交直线于点, 为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据条件列出关于的方程组，求解的值，再由，得到的值，即可求得椭圆的方程；

（Ⅱ）设（），则，因为点坐标为，得直线的方程为，进而得到坐标和的直线方程，再利用圆心到直线的距离和圆的半径的关系，即可作出证明．

试题解析：

（Ⅰ）由题得,解得

则

则椭圆方程为

（Ⅱ）与以为直径的圆相切,证明如下：

设（）,则又因为点坐标为

所以直线的斜率

则直线的方程为,当时,

则点坐标为,又因为,则

则直线的斜率为

则直线的方程为：

则点到直线的距离为

又因为

则

则与以为直径的圆相切