题目内容

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 $数学公式$ 海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ= $数学公式$ ）的方向作匀速直线航行，速度为10 $数学公式$ 海里/小时．
（1）求出发后3小时两船相距多少海里？
（2）求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
（3）两船在航行中能否相遇，试说明理由．

解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）处．
则 $\text{[math]}$
由tanθ= $\text{[math]}$ 可得，
cosθ= $\text{[math]}$ ，sinθ= $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$
（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20），
|PQ|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ．
即出发后3小时两船相距5 $\text{[math]}$ 海里．
（2）由（1）的解法过程易知：
|PQ|= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥20 $\text{[math]}$ ，
∴当且仅当t=4时，|PQ|取得最小值20 $\text{[math]}$ ．
即两船出发4小时后距离最近，最近距离为20 $\text{[math]}$ 海里．
（3）由（2）可知，两船之间的最近距离为20 $\text{[math]}$ 海里，所以两船在航行中不会相遇
分析：（1）以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）处．则根据题意可分别表示出x₁和y₁，进而根据由tanθ= $\text{[math]}$ 可求得cosθ和sinθ的值，进而表示出x₂和y₂，令t=3，则P，Q两点坐标可得，进而根据两点间的距离求得PQ的值，即出发后3小时两船相距的距离．
（2）根据（1）可根据两点间的距离求得QP，进而根据t的范围求得PQ的最小值，进而可求得两船出发4小时后距离最近，最近距离为20 $\text{[math]}$ 海里．
（3）根据（2）可知两船之间的最近距离为20 $\text{[math]}$ 海里，推断出两船不可能相遇．
点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查了学生综合分析问题和解决的能力．