Question

【题目】若函数满足：对任意实数，方程的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称为“偶的函数”.证明：

（1）任何多项式均不是偶的函数；

（2）存在连续函数是偶的函数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）注意到，多项式的定义域为R，将其划分为如下增减交替的单调区间：

，，，

其中，为所有的极值点.

不妨设的首项系数为正.

若为奇数，则、均为单调递增区间.

且，.

取，则方程仅在区间上有一解，此时，不是偶的函数.

若为偶数，则为单调递减区间，为单调递增区间.故k为奇数.从而，必存在一个极值恰被奇数个取到.

考虑方程的根，根据各区间的增减交替性，恰有偶数个区间含有这些根，每个区间内根的个数为1，但其中在极值点处取到的根均被计算了两遍，故应扣除奇数个.

因此，方程的根是奇数个，即不是偶的函数.

综上，任何多项式均不是偶的函数.

（2）构造一个的例子.

当x为正奇数或x=0时，定义=x；

当x为正偶数时，定义=x-2；

当x为负奇数时，定义=-x+1；

当x为负偶数时，定义=-x-1.

当时，定义.

这样定义的函数是连续的.

可以验证，当时，无解；

当时，恰有两个解；

当时，恰有四个解.

故所构造的为一个偶的函数.