Question

【题目】已知函数（其中 ，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若函数无极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明：．

Answer 1

【答案】（1）实数的取值范围是；（2）见解析.

【解析】分析：（1）因为函数无极值，所以在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立，求导分析整理即可得到答案；

（2）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证 ，只需证即可，构造函数= （），求导分析整理即可.

详解：（Ⅰ）函数无极值， 在上单调递增或单调递减.

即或在时恒成立；

又，

令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增；

，

当时，，即，

当时，显然不成立；

所以实数的取值范围是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.

欲证 ，只需证即可.

构造函数= （），

则恒成立，故在单调递增，

从而.即，亦即.

得证.