Question

【题目】已知函数．

（1）若在上不单调，求a的取值范围；

（2）当时，记的两个零点是

①求a的取值范围；

②证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；

（2）①将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；

②结合①，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.

（1）因为，所以，

当时，可知在上恒成立，

即在上单调递增，不合题意，

当时，即时，可知时，单调减，

当时，单调增，所以满足在上不单调，

所以a的取值范围是；

（2）①令，得，即有两个解，

令，则，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且当时，，当时，，且，

所以当时，记的两个零点，a的取值范围是；

②由①知，所以，

所以