Question

设函数f(x)＝x²－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明f(x)是偶函数；

(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(3)求函数的值域．

Answer 1

[解析]　(1)证明：∵定义域关于原点对称，

f(－x)＝(－x)²－2|－x|－1＝x²－2|x|－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)当x≥0时，f(x)＝x²－2x－1＝(x－1)²－2，

当x<0时，f(x)＝x²＋2x－1＝(x＋1)²－2，

即f(x)＝

根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图

函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，

在[－1,0)，[1,3]上为增函数．

(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)²－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.

当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)²－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.

故函数f(x)的值域为[－2,2]．