Question

已知：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若

ED

=2

DF

，求直线EF的方程；
（3）对于D（-1，0），是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线AB的倾斜角，可知斜率；由S_△OAB的面积公式，可得a，b的值；从而得椭圆的方程．
（2）直线EF过点D（-1，0），可设为x=my-1（m＞0）代入椭圆方程，可得关于y的方程；设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

ED

=2

DF

，可得y₁、y₂的关系；由y₁+y₂，y₁y₂，从而得m的值，以及直线EF的方程．
（3）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把y=kx+2代入椭圆方程，得关于x的方程（*）；x₁，x₂是此方程的两个相异实根．设PQ的中点为M，可表示x_M，y_M；由|DP|=|DQ|，可得DM⊥PQ，从而得k_DM的值，得k的值；验证方程（*）无两相异实根，知满足条件的k不存在．

解答：解：（1）由

b

a

=

3

3

，

1

2

a•b=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，得a=

3

，b=1，
所以，椭圆方程为：

x2

3

+y2=1；
（2）设直线EF的方程为：x=my-1（m＞0），代入

x2

3

+y2=1，得（m²+3）y²-2my-2=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

ED

=2

DF

，得y₁=-2y₂．
由y1+y2=-y2=

2m

m2+3

，y1y2=-2y22=

-2

m2+3

；
得(-

2m

m2+3

)2=

1

m2+3

，∴m=1，m=-1（舍去），所以，直线EF的方程为：x=y-1，即x-y+1=0．
（3）记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），x₁，x₂是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM=

x1+x2

2

=-

6k

3k2+1

，yM=kxM+2=

2

3k2+1

；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM=

yM

xM+1

=

2 3k2+1

6k 3k2+1 +1

=-

1

k

，∴3k²-4k+1=0，得k=1或k=

1

3

．
但k=1，k=

1

3

均使方程（*）没有两相异实根，∴满足条件的k值不存在．

点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，解题时灵活运用了椭圆的标准方程，向量，根与系数的关系等知识，是综合性较强的题目．