Question

如图已知，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A、B两点．
（Ⅰ）若∠AF₁F₂=60°，且

AF1

•

AF2

=0，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若a=

2

，b=1，求

F1A

•

F1B

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为在焦点三角形AF₁F₂中，

AF1

•

AF2

=0，所以∠F₁AF₂=90°，又因为∠AF₁F₂=60°，所以△AF1F2的三边关系可以找到，根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．
（II）若a=

2

，b=1，则椭圆方程为两个，可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上，分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积，用坐标表示

F1A

•

F1B

，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．

解答：解：（I）∵

AF1

•

AF2

=0，∴AF₁⊥AF₂∵∠AF₁F₂=60°，∴F₁F₂=2AF₁，AF2=

3

AF1------（3分）
∴2a=AF₁+AF₂，2c=F₁F₂∴离心率e=

c

a

=

F1F2

AF1+AF2

=

3

-1------（6分）
（II）∵a=

2

，b=1，∴c=1，点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
①若AB垂直于x轴，则A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，

F1A

•

F1B

=(0，

2

2

)•(0，-

2

2

)=-

1

2

------（8分）
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为 y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

消去y得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0∵△=8k²+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

------（10分）
∴

F1A

=(x1+1，y1)，

F1B

=(x2+1，y2)

F1A

•

F1B

=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+k2(x1+1)(x2+1)=（1+k²）（x₁x₂+x₁+x₂+1）=(1+k2)(

2k2-2

2k2+1

-

4k2

2k2+1

+1)=-

k2+1

2k2+1

=-

1

2

-

1

2(2k2+1)

-------（12分）
∵k2≥0，2k2+1≥1，   0＜

1

2k2+1

≤1，∴-1≤-

1

2

-

1

2(2k2+1)

＜-

1

2

∴

F1A

•

F1B

∈[-1，-

1

2

)------（14分）
综合①、②可得：

F1A

•

F1B

∈[-1，-

1

2

]．
所以当直线l垂直于x时，

F1A

•

F1B

取得最大值-

1

2

；当直线l与x轴重合时，

F1A

•

F1B

取得最小值-1------（15分）

点评：本题考查了利用焦点三角形三边关系求椭圆方程，以及椭圆与向量相结合求最值，注意解题过程中，设而不求思想的应用．