Question

已知过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若

AF

=2

FB

，则椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

分析：设出A、B两点的坐标，A（m，m-c），B（ n，n-c），由

AF

=2

FB

 得 m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，

AF

FB

=2=

a2 c -m

a2 c -n

，可得 2n-m=

a2

c

  ②，由①②解得 m 和 n的值，再代入椭圆的第二定义，e=

BF

d

=

(n-c)2+ (n-c-0)2

a2 c -n

=

2 - 2 e2

3-3e2

，解方程求得e的值．

解答：解：右焦点F（c，0），直线的方程为  y-0=x-c． 设 A（m，m-c），B（ n，n-c），
由

AF

=2

FB

 得 （c-m，c-m）=2 （n-c，n-c），∴c-m=2（n-c），m+2n=3c ①．
再根据椭圆的第二定义，

AF

FB

=2=

a2 c -m

a2 c -n

，∴2n-m=

a2

c

  ②，
由①②解得   m=

3c2-a2

2c

，n=

3c2+a2

4c

．
据椭圆的第二定义，e=

BF

d

=

(n-c)2+ (n-c-0)2

a2 c -n

=

2 n- 2 c

a2 c -n

 
=

2 a2- 2 c2

3a2-3c2

=

2 - 2 e2

3-3e2

，
∴3e³-3e-

2

e²+

2

=0，（e²-1）•（3e-

2

 ）=0．∵0＜e＜1，
∴e=

2

3

，故椭圆的离心率是 

2

3

，故答案为 

2

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．