Question

已知：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

π

6

，原点到该直线的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若

ED

=2

DF

，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用两点连线的斜率公式及点到直线的距离公式列出椭圆的三个参数a，b，c的关系，通过解方程求出a，b，c的值，写出椭圆的方程．
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立得到关于y的二次方程，利用根与系数的关系及已知条件中的向量关系找到有关直线方程中的待定系数满足的等式，解方程求出直线的方程．
（3）将条件以PQ为直径的圆过点D（-1，0）转化为PD⊥QD，设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率．

解答：解：（1）由

b

a

=

3

3

，

1

2

a•b=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，
得a=

3

，b=1，
所以椭圆方程是：

x2

3

+y2=1
（2）设EF：x=my-1（m＞0）
代入

x2

3

+y2=1，得（m²+3）y²-2my-2=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

ED

=2

DF

，
得y₁=-2y₂．
由y1+y2=-y2=

2m

m2+3

，y1y2=-2y22=

-2

m2+3

得(-

2m

m2+3

)2=

1

m2+3

，
∴m=1，m=-1（舍去），
直线EF的方程为：x=y-1即x-y+1=0
（3）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*）
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵PQ为直径的圆过D（-1，0），
则PD⊥QD，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=

-12k+14

3k2+1

=0．
解得k=

7

6

，
此时（*）方程△＞0，
∴存在k=

7

6

，满足题设条件．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．